KECAKAPAN SISWA DALAM INVESTIGASI MATEMATIS

KECAKAPAN SISWA DALAM INVESTIGASI MATEMATIS

A.       LATAR BELAKANG

Mathematical Problem solving merupakan inti dari kerangka kurikulum matematika Singapura dimana masalah rutin matematika disajikan dalam sebuah konteks yang dapat diselesaikan dengan beragam cara/prosedur.Johnson dan Rising (2005:22) menegaskan bahwa pemecahan masalah merupakan tahap belajar yang penting pada setiap kelas matematika.Pemecahan masalah ialah menemukan respon terbaik yang unik dan khas untuk sebuah situasi yang dihadapi.Dari inti itulah konsep, keterampilan, proses, sikap serta metakognisi matematika dikembangkan.

Gambar 1: Kerangka Kurikulum Matematika Singapura

Lebih lanjut, Johnson and Rising mengemukakan beberapa alasan mengapa pemecahan masalah penting dalam matematika:pertamapemecahan masalah merupakan sebuah proses dimana kita belajar konsep baru. Kedua pemecahan masalah dapat menjadi langkah yang bermakna untuk mempraktikkan kemampuan berhitung.Ketiga melalui pemecahan masalah siswa belajar untuk memerapkan konsep dan keterampilan matematika pada situasi yang baru.Keempatpengetahuan baru dapat ditemukan melalui pemecahan masalah

Meski sebagian besar guru matematika di Singapura akrab dengan Mathematical Problem solvingnamun mereka belum banyak mengetahui tentang Mathematical Investigation.Apabila guru tidak memahami apa itu investigasi matematis, maka mereka tidak akan dapat mengembangkan proses ini dalam pembelajaran. Padahal proses berpikir matematis siswa dapat lebih dikembangkan apabila siswa terbiasa melakukan investigasi matematis.

Investigasi matematis adalah pernyataan atauopen-ended problem (masalah terbuka) yang menuntut tumbuhnya eksplorasi dari sifat-sifat, ide-ide atau solusi matematika.Secara umum, tidak terdapat batas yang jelas antara investigasi matematis dengan pemecahan masalah, namun demikian aktivitas dalam investigasi matematis lebih bersifat divergen, sedangkan pada pemecahan masalah lebih cenderung konvergen.Investigasi matematis tidak memuat masalah spesifik yang harus siswa pecahkan sehingga memerlukan pemikiran yang luas dengan beragam pendekatan.Dengan demikian, di dalam investigasi matematis terkandung problem solving dan sekaligus problem posing.Dalam tulisan ini, investigasi matematis terkadang disebut dengan penyelidikan matematis.

Terdapat beragam proses yang dapat siswa kembangkan secara lebih luas dalam investigasi matematis. Berikut ini disajikan skema proses investigasi matematis yang diadaptasi dari skema yang kemukakan oleh Johnson and Rising (2005:38):

Gambar 2: Proses Investigasi Matematis

B.       INSTRUMEN INVESTIGASI MATEMATIS SISWA

Guna mengetahui kecakapan siswa dalam investigasi matematis, Joseph B.W. Yeo mengadakan sebuah penelitian terhadap 29 Siswa Secondary One (kelas 7) dari sebuah sekolah unggulan di Singapura.Siswa sasaran tersebut memilikikemampuan kognitif yang menonjol yang dibuktikan dengan perolehan skor Primary School Leaving Examinations (PLSE/UN SD).20 siswa mendapat skor antara 253-255 (termasuk 1% lulusan terbaik SD singapura),lima siswamemperoleh skor antara 242-249, tiga siswamemperoleh skor antara 230-239, sedangkan seorang anak tidak menuliskan skor PLSE.

Sebuah tes tertulis yang terdiri atas empat butir pertanyaan diberikan, kemudian jawaban yang dituliskan oleh ke-29 siswa tersebut akan dianalisa. Keempat butir pertanyaan yang diajukan dalam tes tersebut adalah sebagai berikut:

1.    Pangkat Bilangan

berarti perkalian berulang bil. 9 sebanyak 5 kali

Perpangkatan dari 9 diantaranya , , , , , dlsb

Selidikilah perpangkatan dari 9.

Sebagai panduan, kalian dapat:

a)     Menemukan pola yang berlaku pd perpangkatan 9

b)     Menjelaskan mengapa pola tersebut dapat berlaku

c)      Menerapkan pola tersebut pada bilangan yang lain

2.    Turnamen Basket

Aturan pada sebuah pertandingan bola basket, mengharuskan setiap tim bertanding melawan tim lain sebanyak 1 kali.

a)     Berapa banyak pertandingan yang terselenggara jika terdapat 20 tim yang berpartisipasi

b)     Hal apa yang dapat kalian selidiki? Apabila kalian memiliki permasalahan untuk diselidiki, tuliskanlah terlebih dahulu

3.    Polite Number

Bilangan asli adalah himpunan bilangan bulat yang positif: 1, 2, 3, 4, …

Polite number adalah bilangan asli yang dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua atau lebih bilangan asli berurutan

Contoh:     9          = 2+3+4 = 4+5

      11        = 5+6

      18        = 3+4+5+6

Selidikilah

4.    Balapan yang Menakjubkan

Pada balapan 100m terdahulu, Ali berhasil menang melawan Bernard dengan selisih jarak 10m.Pada rencana balapan 100m berikutnya, agar memperoleh hasil akhir balapan seimbang, Bernard mengusulkan agar ia dapat melakukan start 10m di depan garis start Ali. Tetapi Ali menolak. Menurut Ali, ia akan start 10m di belakang garis start Bernard

a)     Selidikilah perbedaan pendapat tersebut

b)     Jika menjadi Bernard, opsi apa yang anda kemukakan, yang menunjukkan kecilnya kemungkinan anda mendahului Ali, namun hasil akhir tetap berimbang?

C.        HAL-HAL YANG MUNGKIN DISELIDIKI

1.    Pangkat Bilangan

Perpangkatan dari 9 diantaranya , , , , , dlsb

Dari operasi hitung perkalian jika ditentukan × = 9.9.9.9.9.9 = =

Perpangkatan 9, pastilah menghasilkan bilangan ganjil. Hasil perpangkatan 9 akan habis dibagi dengan factor dari 9.

Apabila kita ganti 9 dengan bilangan lain, semisal 4 maka × = =

Dengan demikian, hasil investigasinya dapat berupa sifat-sifat yang berlaku pada perpangkatan:

Jika  adalah bilangan real, maka berlaku ;

a.	penjumlahan dan pengurangan pangkat hanya berlaku jika keduanya memiliki bilangan pokok yang sama
b.           atau      dengan
c.	berdasarkan sifat c dan sifat d  diperoleh sifat :
d.
e.             dengan	Sifat b dan e mensyaratkan penyebut pecahan tidak sama dengan nol

2.    TurnamenBasket

Jika terdapat 20 tim, maka banyaknya pertandingan yang terselenggara adalah sebanyak 190 pertandingan. Kuantitas pertandingan tersebut dapat diperoleh dari:

a.         19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=190

b.        (19+1)+(18+2)+ … +(11+9)+10=20+20+20+20+20+20+20+20+20+10 = 190

c.         (9×20)+10 = 190

d.         = 190

Selanjutnya, apabila kompetisi basket tersebut diikuti oleh n tim maka banyaknya pertandingan yang terselenggara sebanyak  . Sistem yang mengharuskan setiap tim bertanding melawan tim lain sebanyak 1 kali dikenal dengan system pertandingan setengah kompetisi.

3.    Polite Number

Polite number adalah bilangan asli yang dapat dinyatakan sebagai penjumlahan dua atau lebih bilangan asli berurutan. Dari pengertiantersebut,dapat diinvestigasi hal-hal sebagai berikut:

a.       Bilangan yang termasuk Polite Number

1)     Bilangan Ganjil lebih dari 1

Bukti : untuk n ≥ 1 maka n, (n+1) adalah 2 bilangan asli berurutan

jumlah kedua bilangan tersebut = n+(n+1) = 2n+1 merupakan bilangan ganjil

dengan demikian:

ü setiap bilangan ganjil merupakan polite number

ü jumlah 2 bilangan asli berurutan pasti merupakan bilangan ganjil

2)     Bilangan kelipatan 3

Bukti : untuk n ≥ 2

(n-1), n, (n+1) adalah 3 bilangan asli berurutan

Jumlah ke-tiga bilangan tersebut = (n-1)+n+(n+1)= 3n

dengan demikian

ü  setiap bilangan kelipatan 3 merupakan polite number

ü  jumlah 3 bilangan asli berurutan pasti merupakan kelipatan 3

3)     2×Bilangan Ganjil

Bukti : untuk n ≥ 2

(n-1), n, (n+1), (n+2) adalah 4 bilangan asli berurutan

Jumlah ke-empat bilangan tersebut = (n-1)+n+(n+1)+(n+2) = 4n+2=2(2n+1)

2n+1 bilangan ganjil.

ü  setiap 2×Bilangan Ganjil merupakan polite number

ü  jumlah 4 bilangan asli berurutan merupakan 2×Bilangan Ganjil

4)     Bilangan kelipatan 5

Bukti : untuk n ≥3

(n-2),(n-1), n, (n+1), (n+2)adalah 5 bilangan asli berurutan

Jumlah kelima bilangan tersebut (n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=5n

dengan demikian

ü  setiap bilangan kelipatan 5 merupakan polite number

ü  jumlah 5 bilangan asli berurutan pasti merupakan kelipatan 5

5)     Bilangan kelipatan 7

Bukti : untuk n ≥4

(n-3), (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2), (n+3) adalah 7 bilangan asli berurutan

Jumlah kelima bilangan tersebut (n-3)+(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=7n

dengan demikian

ü  setiap bilangan kelipatan 7 merupakan polite number

ü  jumlah 7 bilangan asli berurutan pasti merupakan kelipatan 7

6)     Kelipatan Bilangan prima

Berdasarkan kriteria-kriteria di atas, dapat disimpulkan bahwa hampir semua bilangan asli merupakan bilangan polite.

b.      Bilangan yang termasukImpolite Number

Bilangan impolite terkecil adalah 1.Berturut-turut 2, 4, 8, 16, 32 dan seterusnya. Secaraumum, bilangan perpangkatan 2 merupakan bilangan impoliteatau dengan katalain, bilangan impolite adalah bilanganyang tidak memiliki factor prima lebih dari 2.

4.    Balapan yang Menakjubkan

Pada dasarnya tidak ada perbedaan antara pendapat Bernard dengan pendapat Ali. Jarak start keduanya tetap berselisih 10m. Hal terpenting dari pertanyaan ke empat ini adalah bagaimana menemukan posisi start yang berbeda dengan kemungkinan finis yang sama. Hal ini membutuhkan banyak pertimbangan tentunya. Bagian terpentingnya adalah, dimanapun posisi start Bernard, tidak memberikan kemungkinan yang lebih besar baginya untuk mendahului Ali.

D.       ANALISA JAWABAN SISWA

Jawaban yang diberikan oleh siswa dianalisa berdasarkan butir pertanyaan yang diberikan. Berikut ini hasil analisa tersebut:

1.    Pangkat Bilangan

Terdapat dua Rubrik skoring yang dikembangkan untuk menganalisa jawaban siswa pada butir 1. Rubric pertama digunakan untuk mengetahui bagaimana cara siswa menyelidiki, rubric kedua untuk mengetahui hal apa yang diselidiki oleh siswa. Hasilnya dapat dilihat pada tabel yang tersaji berikut ini:

Tabel 1: Bagaimana cara siswa melakukan penyelidikan

LEVEL	DESKRIPSI	Banyak Siswa	Persen
1H4	Siswa melakukan penyelidikan dengan menguji dugaan dan menggeneralisasikannya	0	0%
1H3	Siswa melakukan penyelidikan dengan menyusun dugaan (pola yang ditemukan dianggap sebatas dugaan dan berpeluang salah)	0	0%
1H2	Siswa melakukan penyelidikan dengan menguji data empiris	14	48%
1H1	Siswa tidak tahu bagaimana menyelidiki, tetapi telah melakukan sesuatu	9	31%
1H0	Siswa tidak menuliskan apapun	6	21%
	Total	29	100%

Dari tabel 1 nampak bahwa sebagian besar siswa  belum memahami apa itu investigasi matematis. Dari 29 tak ada yang mencapai level 3 (menyusun konjektur), apalagi sampai pada level 4 (menyusun generalisasi).

Tabel 2: Hal apa yang diselidiki oleh siswa

LEVEL	DESKRIPSI	BANYAK SISWA	PERSEN
1W4	Siswa menemukan pola yang kompleks seperti: 2 digit terakhir hasil perpangkatan 9 akan berulang setelah 10 kali	0	0%
1W3	Siswa menemukan pola yang agak kompleks seperti:	1	3%
1W2	Siswa menemukan pola sederhana seperti;perpangkatan 9 adalah bilangan ganjil, perpangkatan 9 habis dibagi oleh faktor dari 9	8	28%
1W1	Tidak ada pola yang ditemukan tetapi melakukan sesuatu seperti; perpangkatan 9 habis dibagi 9	14	48%
1W0	Tidak menemukan/menuliskan sesuatu	6	21%
	Total	29	100%

Tabel 2 menggambarkan hanya seorang siswa saja yang melakukan pengujian data empiris hingga memperoleh sifat perpangkatan.

2.    Turnamen Basket

Untuk jawaban pertanyaan (a): 20 siswa (69%) menjawab benar dengan hasil akhir 190pertandingan sedangkan 9 lainnya melakukan kesalahan; 4 diantaranya dengan melakukan perkalian langsung 20.19 =380

Untuk jawaban (b): 18 siswa tidak dapat mengajukan masalah yang dapat diselidiki, 10 siswa mengajukan namun tidak sampai menggeneralisasi, dan hanya 1 siswa mengajukan masalah serta sampai pada tahap menggeneralisasi

3.    Polite Number

Sebagaimana analisa jawaban butir, jawaban butir 3 dianalisa dengan pendekatan 2 hal: Bagaimana siswa menyelidiki serta Apa hasil penyelidikan siswa

Dari item bagaimana siswamelakukan penyelidikan, 19 siswa tidak dapat menyelidiki, 7 siswa membuat dugaan tanpa penjelasan, 3 siswa membuat dugaan dan dapat menjelaskan bagaimana dugaan mereka benar

Adapun dari item apa hasil penyelidikan siswa, 19 siswa tidak tahu bagaimana menginvestigasi, 4 siswa mencoba menginvestigasi mana polite mana impolite, dan 5 siswa mencoba menemukan pola.

4.    Balapan yang Menakjubkan

18 siswa tidakdapat membayangkan bahwa pertanyaan sesungguhnya adalah bagaimana opsi terbaik agar pertandingan berakhir imbang.

E.        KESIMPULAN

Dari hasil analisa, dapat ditemukan fakta bahwa sebagian besar siswa yang diteliti:

1. Belum memahami bagaimana/apa yang harus diselidiki
2. Belum mampu menemukan dan menyajikan masalah mereka sendiri sebagai bahan penyelidikan

Hal ini didasarkan pada statistik data dimana 52% siswa belum tahu bagaimana menyelidiki, 69% siswa tidak tahu apayang harus diselidiki pada butir soal1, 62% siswa tidak mampu mengetengahkan masalah yang relevan dengan butir soal2, 66% siswa belum mengerti bagaimana menyelidiki menggunakan daftar sistematis padabutir soal3, serta 76% siswa tidak tahu apa yang harus diselidiki pada butir soal4.

Kesimpulan yang dapat diambil dari pembahasan tersebut di atas :

ü  Hasil penelitian menunjukkan bahwa kecakapan siswa dalam investigasi matematis masih rendah.

ü  Peningkatan kecakapan siswa dalam investigasi matematis dapat dilakukan dengan memberikan lebih banyak porsi investigasi matematis seperti problem posing dan penelusuran pola struktur matematis

ü  Peningkatan kecakapan siswa dalam investigasi matematis membutuhkan kesiapan dan peran serta guru

ü  Diperlukan penelitian lanjutan untuk mengembangkan rumusanpermasalahan, pertanyaan dan strategi teknis yang dapat diimplementasikan sebagai upaya mengenalkan dan membiasakan siswa dalam investigasi matematis.

DAFTAR PUSTAKA

Bostock, L., Shepherd, A., Chandler, A., & Smith, E. (2002). New national curriculum mathematics Higher GCSE 11A. London: Nelson Thornes.

Frobisher, L., & Orton, A. (2005). Insight into teaching mathematics. London: Continumm.

Johnson, D. a., & Rising, G. R. (2005). Guidelines for teaching mathematics. Wadsworth: Wadsworth Publishing Company.

Sobel, M. A., & Maletsky, E. M. (2004). Mengajar matematika:sebuah buku sumberalat peraga, aktivitas dan strategi. Jakarta: Erlangga.

Yeo, J. B. (2014). Mathematical Investigation Proficiency among Singapore Secondary School Student: an . Southeast Asian Mathematics Education Journal, 3-21.